与えられた関数 $f(x) = (a-2)x - 6$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(-1) = 2$ となる $a$ の値を求め、$f(2) = 2$ となる $a$ の値を求める。 (2) $a = 3$ のとき、不等式 $|f(x)| < 2$ の解を求める。 (3) $a$ の値によって不等式 $|f(x)| < 2$ の解となり得るものを選択肢の中から選ぶ。 (4) $|f(x)| < 2$ の解が(3)で選んだものであるとき、$|f(x)| < 6\sqrt{2}$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = (a-2)x - 6$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(-1) = 2$ となる $a$ の値を求め、$f(2) = 2$ となる $a$ の値を求める。

(2) $a = 3$ のとき、不等式 $|f(x)| < 2$ の解を求める。

(3) $a$ の値によって不等式 $|f(x)| < 2$ の解となり得るものを選択肢の中から選ぶ。

(4) $|f(x)| < 2$ の解が(3)で選んだものであるとき、$|f(x)| < 6\sqrt{2}$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(-1) = (a-2)(-1) - 6 = 2$ を解いて、$a$ を求める。

$-a + 2 - 6 = 2$

$-a = 6$

$a = -6$

$f(2) = (a-2)(2) - 6 = 2$ を解いて、$a$ を求める。

$2a - 4 - 6 = 2$

$2a = 12$

$a = 6$

(2)

$a = 3$ のとき、$f(x) = (3-2)x - 6 = x - 6$ である。

$|f(x)| < 2$ より、

$|x - 6| < 2$

$-2 < x - 6 < 2$

$4 < x < 8$

(3)

$|f(x)| < 2$ より、

$|(a-2)x - 6| < 2$

$-2 < (a-2)x - 6 < 2$

$4 < (a-2)x < 8$

$a > 2$ のとき、

$\frac{4}{a-2} < x < \frac{8}{a-2}$

$a < 2$ のとき、

$\frac{8}{a-2} < x < \frac{4}{a-2}$

$a > 2$ の場合、$2 < a < 4$ であれば $2 < \frac{8}{a-2}$　かつ　$\frac{4}{a-2} < x < \frac{8}{a-2} < 4$ である。このとき，$0 < a < 2$の場合、$\frac{8}{a-2} < \frac{4}{a-2}< 0$ である。

したがって、選択肢の(4) $2 < x < 4$ となる可能性がある。

(4)

$|f(x)| < 2$ の解が $2 < x < 4$ であるとき、(3)より、$\frac{4}{a-2}=2$かつ$\frac{8}{a-2} = 4$であるから、$a = 4$である。

このとき、$f(x) = (4-2)x - 6 = 2x - 6$

$|f(x)| < 6\sqrt{2}$ より、

$|2x - 6| < 6\sqrt{2}$

$-6\sqrt{2} < 2x - 6 < 6\sqrt{2}$

$-6\sqrt{2} + 6 < 2x < 6\sqrt{2} + 6$

$-3\sqrt{2} + 3 < x < 3\sqrt{2} + 3$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より、

$-3(1.414) + 3 < x < 3(1.414) + 3$

$-4.242 + 3 < x < 4.242 + 3$

$-1.242 < x < 7.242$

整数 $x$ は、$x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

全部で9個ある。

3. 最終的な答え

(1) $a = -6$ , $a = 6$

(2) $4 < x < 8$

(3) (4)

(4) 9