ある疾病Xを検査する試薬Aがある。 - 陽性と判定された被験者の25%は誤り（実際は罹患していない）。 - 試薬Aは10%の割合で誤った判定をする。 (1) 被験者全体のうち、疾病Xに罹患している者の割合を求める。 (2) 無作為に選ばれた被験者が試薬Aで陰性と判定されたとき、実際には疾病Xに罹患している確率を求める。

1. 問題の内容

ある疾病Xを検査する試薬Aがある。

- 陽性と判定された被験者の25%は誤り（実際は罹患していない）。

- 試薬Aは10%の割合で誤った判定をする。

(1) 被験者全体のうち、疾病Xに罹患している者の割合を求める。

(2) 無作為に選ばれた被験者が試薬Aで陰性と判定されたとき、実際には疾病Xに罹患している確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 疾病Xに罹患している者の割合を求める。

* 罹患している者の割合を $x$ とする。

* 罹患していない者の割合は $1-x$ となる。

試薬Aが陽性と判定するのは、

* 実際に罹患していて正しく陽性と判定される場合。

* 実際には罹患していないが誤って陽性と判定される場合。

陽性と判定された被験者の25%が誤りであることから、以下の式が成り立つ。

$\frac{(1-x) \times 0.1}{x \times 0.9 + (1-x) \times 0.1} = 0.25$

この式を解いて $x$ を求める。

(2) 陰性と判定されたときに実際に疾病Xに罹患している確率を求める。

条件付き確率を求める。$P(X | Y)$を「Yという条件のもとでXが起こる確率」と表記する。

今回は、$P(\text{罹患} | \text{陰性判定})$ を求める。

ベイズの定理を用いる。

$P(\text{罹患} | \text{陰性判定}) = \frac{P(\text{陰性判定} | \text{罹患}) \times P(\text{罹患})}{P(\text{陰性判定})}$

$P(\text{罹患}) = x$

$P(\text{陰性判定} | \text{罹患}) = 0.1$

$P(\text{陰性判定}) = P(\text{陰性判定} | \text{罹患}) \times P(\text{罹患}) + P(\text{陰性判定} | \text{非罹患}) \times P(\text{非罹患}) = 0.1 \times x + 0.9 \times (1-x)$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{(1-x) \times 0.1}{x \times 0.9 + (1-x) \times 0.1} = 0.25$

$(1-x) \times 0.1 = 0.25 \times (0.9x + 0.1 - 0.1x)$

$0.1 - 0.1x = 0.25 \times (0.8x + 0.1)$

$0.1 - 0.1x = 0.2x + 0.025$

$0.075 = 0.3x$

$x = 0.25$

疾病Xに罹患している者の割合：25%

(2)

$P(\text{罹患} | \text{陰性判定}) = \frac{0.1 \times 0.25}{0.1 \times 0.25 + 0.9 \times 0.75} = \frac{0.025}{0.025 + 0.675} = \frac{0.025}{0.7} = \frac{25}{700} = \frac{1}{28}$

陰性と判定されたときに実際に疾病Xに罹患している確率：$\frac{1}{28}$