男子生徒と女子生徒をそれぞれ少なくとも1人選び、合計4人を選ぶ場合の選び方の総数を求める問題です。ただし、選ぶ順番は考慮しません。男子生徒の人数は20人、女子生徒の人数は15人です。

1. 問題の内容

男子生徒と女子生徒をそれぞれ少なくとも1人選び、合計4人を選ぶ場合の選び方の総数を求める問題です。ただし、選ぶ順番は考慮しません。男子生徒の人数は20人、女子生徒の人数は15人です。

2. 解き方の手順

男子生徒の人数を $m$、女子生徒の人数を $w$ とします。

$m \ge 1$, $w \ge 1$ であり、$m + w = 4$を満たす必要があります。

したがって、以下の組み合わせが考えられます。

(1) 男子1人、女子3人

(2) 男子2人、女子2人

(3) 男子3人、女子1人

各ケースについて組み合わせの数を計算します。

(1) 男子1人、女子3人

男子の選び方は $_{20}C_1 = 20$ 通り

女子の選び方は $_{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ 通り

したがって、$20 \times 455 = 9100$ 通り

(2) 男子2人、女子2人

男子の選び方は $_{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$ 通り

女子の選び方は $_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$ 通り

したがって、$190 \times 105 = 19950$ 通り

(3) 男子3人、女子1人

男子の選び方は $_{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$ 通り

女子の選び方は $_{15}C_1 = 15$ 通り

したがって、$1140 \times 15 = 17100$ 通り

これらの場合を合計します。

$9100 + 19950 + 17100 = 46150$通り

しかし、解答と一致しません。問題文を再度確認すると、男子生徒20人、女子生徒15人から4人を選ぶという情報しか書かれていません。選んだ人数が書いていません。

男子生徒の人数を$n_b$、女子生徒の人数を$n_g$とすると、$n_b \ge 1, n_g \ge 1, n_b+n_g=4$。

ありうる組み合わせは(1,3), (2,2), (3,1)

それぞれの場合の選び方は、

${}_{20}C_1 \times {}_{15}C_3 = 20 \times 455 = 9100$

${}_{20}C_2 \times {}_{15}C_2 = 190 \times 105 = 19950$

${}_{20}C_3 \times {}_{15}C_1 = 1140 \times 15 = 17100$

合計すると、$9100+19950+17100=46150$

したがって、答えは46150通り。

しかし、解答が665通りと書かれているので、別の解釈を考えます。

全生徒の人数は $20 + 15 = 35$ 人です。

この中から4人を選ぶ組み合わせは $_{35}C_4 = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35 \times 17 \times 11 \times 4 = 52360$ 通り

この中から男子だけ4人選ぶ組み合わせは $_{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4845$ 通り

この中から女子だけ4人選ぶ組み合わせは $_{15}C_4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15 \times 7 \times 13 \times \frac{1}{2} = 1365$ 通り

両方とも少なくとも1人選ぶ場合は、全体から男子だけ、女子だけを選ぶ組み合わせを引けばいいので

$52360 - 4845 - 1365 = 46150$

665という答えになる組み合わせは考えにくいです。

3. 最終的な答え

46150通り