箱の中に赤、白、オレンジ、黄、緑、青、紫の7色のボールが1個ずつ入っている。 (1) 7色のボールから3色を選ぶとき、その選び方は何通りあるか。 (2) 7色のボールから3色を選ぶとき、紫のボールを必ず選ぶとすると、その選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

箱の中に赤、白、オレンジ、黄、緑、青、紫の7色のボールが1個ずつ入っている。

(1) 7色のボールから3色を選ぶとき、その選び方は何通りあるか。

(2) 7色のボールから3色を選ぶとき、紫のボールを必ず選ぶとすると、その選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 7色から3色を選ぶ組み合わせの数を求める問題です。組み合わせの総数は、7個から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_7C_3$ で計算できます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(2) 紫のボールを必ず選ぶという条件があります。したがって、残りの6色から2色を選ぶ組み合わせの数を求めることになります。これは $_6C_2$ で計算できます。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 3 \times 5 = 15$

3. 最終的な答え

(1) 35通り

(2) 15通り