(1) 男子生徒7人、女子生徒6人の中から、男子生徒2人と女子生徒2人を選んで掃除当番を決めるときの選び方の総数を求める問題。ただし、選んだ順番は考えない。 (2) 男子生徒7人、女子生徒6人の中から、少なくとも男子生徒1人、女子生徒1人を選び、合計4人の掃除当番を選ぶときの選び方の総数を求める問題。ただし、選んだ順番は考えない。

1. 問題の内容

(1) 男子生徒7人、女子生徒6人の中から、男子生徒2人と女子生徒2人を選んで掃除当番を決めるときの選び方の総数を求める問題。ただし、選んだ順番は考えない。

(2) 男子生徒7人、女子生徒6人の中から、少なくとも男子生徒1人、女子生徒1人を選び、合計4人の掃除当番を選ぶときの選び方の総数を求める問題。ただし、選んだ順番は考えない。

2. 解き方の手順

(1) 男子生徒2人の選び方は $\binom{7}{2}$ 通り、女子生徒2人の選び方は $\binom{6}{2}$ 通りである。よって、選び方の総数は、それぞれの積となる。

$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$21 \times 15 = 315$

(2) 4人の選び方は、男子生徒と女子生徒の人数で場合分けできる。少なくとも1人ずつ選ぶ必要があるので、(男子1,女子3)、(男子2,女子2)、(男子3,女子1) の3つの場合に分けられる。

* 男子1人、女子3人の場合: $\binom{7}{1} \times \binom{6}{3} = 7 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 20 = 140$ 通り

* 男子2人、女子2人の場合: $\binom{7}{2} \times \binom{6}{2} = 21 \times 15 = 315$ 通り (問題1より)

* 男子3人、女子1人の場合: $\binom{7}{3} \times \binom{6}{1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 6 = 35 \times 6 = 210$ 通り

したがって、選び方の総数は、これらの和となる。

$140 + 315 + 210 = 665$

3. 最終的な答え

(1) 315通り

(2) 665通り