(1) 男子3人、女子3人の合計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。 (2) 5個の数字0,1,2,3,4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。 (3) 図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 男子3人、女子3人の合計6人が1列に並ぶとき、男子3人が隣り合う並び方は何通りあるか。

(2) 5個の数字0,1,2,3,4を用いて作った各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、小さい方から55番目の数は何か。

(3) 図のような街路がある。PからRまたはSを通ってQに行く最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 男子3人をひとまとめにして1人と考える。すると、女子3人と合わせて4人になるので、これらの並び方は $4!$ 通り。さらに、男子3人の中での並び方が $3!$ 通りあるので、合計の並び方は $4! \times 3!$ 通り。

(2) 5桁の整数を小さい順に並べる。

1. 10000番台の数: 先頭は1, 2, 3, 4 のいずれか。

* 先頭が1の場合: 残り4桁の並べ方は $4!=24$ 通り

* 先頭が2の場合: 残り4桁の並べ方は $4!=24$ 通り

* $24+24 = 48$

2. 30000番台の数:

* 先頭が3の場合

* 30xxx: 残り3桁の並べ方は $3!=6$ 通り

* $48+6 = 54$

3. 31000番台の数:

* 31024 : $55$番目

(3) PからRを通ってQに行く最短経路の数と、PからSを通ってQに行く最短経路の数をそれぞれ求め、それらを足し合わせる。ただし、PからRとSの両方を通ってQに行く経路はないので、単純に足し合わせれば良い。

* PからRへの最短経路の数は ${3 \choose 1}=3$通り

* RからQへの最短経路の数は ${5 \choose 2}=10$通り

* PからRを通ってQへ行く最短経路の数は $3 \times 10 = 30$通り

* PからSへの最短経路の数は ${5 \choose 2}=10$通り

* SからQへの最短経路の数は ${3 \choose 1}=3$通り

* PからSを通ってQへ行く最短経路の数は $10 \times 3 = 30$通り

PからRまたはSを通ってQに行く最短経路の数は $30 + 30 = 60$通り

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 31024

(3) 60通り