$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$7\sin\theta + 24\cos\theta = 25$ を満たす $\tan\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$7\sin\theta + 24\cos\theta = 25$ を満たす $\tan\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$7\sin\theta + 24\cos\theta = 25$ の両辺を 25 で割ります。

$\frac{7}{25}\sin\theta + \frac{24}{25}\cos\theta = 1$

ここで、$\cos\alpha = \frac{7}{25}$、$\sin\alpha = \frac{24}{25}$ となるような角 $\alpha$ を考えます。このとき、与えられた式は

$\cos\alpha\sin\theta + \sin\alpha\cos\theta = 1$

これは $\sin(\theta + \alpha) = 1$ と書き換えられます。

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、

$\theta + \alpha = 90^\circ$

$\theta = 90^\circ - \alpha$

したがって、$\tan\theta = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$\cos\alpha = \frac{7}{25}$、$\sin\alpha = \frac{24}{25}$ だったので、

$\tan\theta = \frac{7/25}{24/25} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

$\tan\theta = \frac{7}{24}$