平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をEとする。直線AEと対角線BDとの交点をF、直線AEと直線CDとの交点をGとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$とするとき、3つのベクトル$\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AG}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを1:2に内分する点をEとする。直線AEと対角線BDとの交点をF、直線AEと直線CDとの交点をGとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$とするとき、3つのベクトル$\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AG}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AE}$について

点Eは辺BCを1:2に内分するので、$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3} \vec{b}$となる。

したがって、

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

(2) $\overrightarrow{AF}$について

点Fは直線AE上にあるので、実数sを用いて$\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AE} = s(\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b})$と表せる。

また、点Fは直線BD上にあるので、実数tを用いて$\overrightarrow{AF} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$と表せる。

よって、$s(\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$となる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、$s = 1-t$かつ$\frac{1}{3}s = t$。

これらを解くと、$s = \frac{3}{4}$, $t = \frac{1}{4}$となる。

したがって、$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

(3) $\overrightarrow{AG}$について

点Gは直線AE上にあるので、実数kを用いて$\overrightarrow{AG} = k\overrightarrow{AE} = k(\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b})$と表せる。

点Gは直線CD上にあるので、$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DG}$。ここで、$\overrightarrow{DG} = m\overrightarrow{DC} = m\vec{a}$ (mは実数)とおけるので、$\overrightarrow{AG} = \vec{b} + m\vec{a}$となる。

よって、$k(\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = \vec{b} + m\vec{a}$となる。

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、$k = m$かつ$\frac{1}{3}k = 1$。

これらを解くと、$k = 3$, $m = 3$となる。

したがって、$\overrightarrow{AG} = 3\vec{a} + \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AE} = \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

$\overrightarrow{AG} = 3\vec{a} + \vec{b}$