三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=\sqrt{5}$, $AC=2$であるとき、$\cos B$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=\sqrt{5}$, $AC=2$であるとき、$\cos B$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos B$

この式に与えられた値を代入する。

$2^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(3)(\sqrt{5})\cos B$

$4 = 9 + 5 - 6\sqrt{5}\cos B$

$4 = 14 - 6\sqrt{5}\cos B$

$-10 = -6\sqrt{5}\cos B$

$10 = 6\sqrt{5}\cos B$

$\cos B = \frac{10}{6\sqrt{5}}$

$\cos B = \frac{5}{3\sqrt{5}}$

$\cos B = \frac{5\sqrt{5}}{3\cdot 5}$

$\cos B = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{\sqrt{5}}{3}$