平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CDの中点をFとする。$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AD}=\vec{d}$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{AF}$を$\vec{b}$、$\vec{d}$を用いて表せ。 (2) $\vec{b}$を$\vec{AE}$、$\vec{AF}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CDの中点をFとする。$\vec{AB}=\vec{b}$、$\vec{AD}=\vec{d}$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{AF}$を$\vec{b}$、$\vec{d}$を用いて表せ。

(2) $\vec{b}$を$\vec{AE}$、$\vec{AF}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AF}$について考える。$\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{DF}$である。

$\vec{DF} = \frac{1}{2}\vec{DC}$であり、$\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}$であるから、$\vec{DF} = \frac{1}{2}\vec{b}$となる。

したがって、

$\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{DF} = \vec{d} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{d}$

(2) $\vec{AE}$について考える。$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$である。

$\vec{BE} = \frac{1}{2}\vec{BC}$であり、$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{d}$であるから、$\vec{BE} = \frac{1}{2}\vec{d}$となる。

したがって、

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}$

$\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{d}$より、$\vec{b} = 2\vec{AF} - 2\vec{d}$

$\vec{AE} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{d}$に代入すると、

$\vec{AE} = 2\vec{AF} - 2\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{d} = 2\vec{AF} - \frac{3}{2}\vec{d}$

したがって、$\frac{3}{2}\vec{d} = 2\vec{AF} - \vec{AE}$

$\vec{d} = \frac{4}{3}\vec{AF} - \frac{2}{3}\vec{AE}$

これを$\vec{b} = 2\vec{AF} - 2\vec{d}$に代入すると、

$\vec{b} = 2\vec{AF} - 2(\frac{4}{3}\vec{AF} - \frac{2}{3}\vec{AE}) = 2\vec{AF} - \frac{8}{3}\vec{AF} + \frac{4}{3}\vec{AE} = -\frac{2}{3}\vec{AF} + \frac{4}{3}\vec{AE}$

$\vec{b} = \frac{4}{3}\vec{AE} - \frac{2}{3}\vec{AF}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{d}$

(2) $\vec{b} = \frac{4}{3}\vec{AE} - \frac{2}{3}\vec{AF}$