行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を計算します。 (1) $(A+B)^2$ (2) $A^2 + 2AB + B^2$ (4) $A^2 B^2$ (5) $A^2 B$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列を計算します。

(1) $(A+B)^2$

(2) $A^2 + 2AB + B^2$

(4) $A^2 B^2$

(5) $A^2 B$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの行列の計算に必要な要素を計算します。

$A+B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}$

$B^2 = B \times B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = B$

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

次に、それぞれの問題を解きます。

(1) $(A+B)^2 = (A+B) \times (A+B) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 16 & 13 \end{pmatrix}$

(2) $A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 14 & 12 \end{pmatrix}$

(4) $A^2 B^2 = A^2 B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $A^2 B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 9 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 16 & 13 \end{pmatrix}$

(2) $A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 14 & 12 \end{pmatrix}$

(4) $A^2 B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$

(5) $A^2 B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \end{pmatrix}$