与えられた4つの不等式の表す領域を図示する問題です。 (1) $xy < 0$ (2) $(x-1)(x-2y) > 0$ (3) $(2x+y-5)(x-y+1) \le 0$ (4) $(x+y+1)(x^2+y^2-4) < 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの不等式の表す領域を図示する問題です。

(1) $xy < 0$

(2) $(x-1)(x-2y) > 0$

(3) $(2x+y-5)(x-y+1) \le 0$

(4) $(x+y+1)(x^2+y^2-4) < 0$

2. 解き方の手順

(1) $xy < 0$ の場合:

$x$ と $y$ の符号が異なる領域を表します。つまり、第2象限と第4象限です。境界線（$x=0$ と $y=0$）は含みません。

(2) $(x-1)(x-2y) > 0$ の場合:

2つの因数の符号が同じになる領域を探します。

* $x-1 > 0$ かつ $x-2y > 0$ の場合: $x > 1$ かつ $y < \frac{1}{2}x$

* $x-1 < 0$ かつ $x-2y < 0$ の場合: $x < 1$ かつ $y > \frac{1}{2}x$

これらの領域を図示します。境界線 ($x=1$ と $y=\frac{1}{2}x$) は含みません。

(3) $(2x+y-5)(x-y+1) \le 0$ の場合:

2つの因数の符号が異なるか、少なくともどちらかが0になる領域を探します。

* $2x+y-5 \ge 0$ かつ $x-y+1 \le 0$ の場合: $y \ge -2x+5$ かつ $y \ge x+1$

* $2x+y-5 \le 0$ かつ $x-y+1 \ge 0$ の場合: $y \le -2x+5$ かつ $y \le x+1$

これらの領域を図示します。境界線 ($2x+y-5=0$ と $x-y+1=0$) を含みます。

(4) $(x+y+1)(x^2+y^2-4) < 0$ の場合:

2つの因数の符号が異なる領域を探します。

* $x+y+1 > 0$ かつ $x^2+y^2-4 < 0$ の場合: $y > -x-1$ かつ $x^2+y^2 < 4$

* $x+y+1 < 0$ かつ $x^2+y^2-4 > 0$ の場合: $y < -x-1$ かつ $x^2+y^2 > 4$

これらの領域を図示します。境界線 ($x+y+1=0$ と $x^2+y^2=4$) は含みません。

3. 最終的な答え

各不等式の表す領域を図示します。それぞれの領域は上記の手順で求められます。

(1) 第2象限と第4象限

(2) $x > 1$ かつ $y < \frac{1}{2}x$ または $x < 1$ かつ $y > \frac{1}{2}x$

(3) $y \ge -2x+5$ かつ $y \ge x+1$ または $y \le -2x+5$ かつ $y \le x+1$

(4) $y > -x-1$ かつ $x^2+y^2 < 4$ または $y < -x-1$ かつ $x^2+y^2 > 4$