一辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを2:1に内分する点をPとする。直線APと直線BFの交点をQとする。$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AF} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{AP}$, $\vec{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、 $|\vec{AQ}|$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて、線分DEを2:1に内分する点をPとする。直線APと直線BFの交点をQとする。$\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AF} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{AP}$, $\vec{AQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。また、 $|\vec{AQ}|$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AP}$を $\vec{a}$と $\vec{b}$で表す。

$\vec{AP} = \vec{AD} + \vec{DP}$

ここで、$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{AF} + \vec{FE} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{a} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{AF} + \vec{DE} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{AD} = 2\vec{b}$。

$\vec{DE} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.

点Pは線分DEを2:1に内分する点なので、

$\vec{DP} = \frac{2}{3} \vec{DE} = \frac{2}{3} (-\vec{a}) = -\frac{2}{3}\vec{a}$

したがって、

$\vec{AP} = \vec{AD} + \vec{DP} = \vec{a} + \vec{AF} + \vec{DP} = 2\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$

$\vec{AP} = -\frac{2}{3} \vec{a} + \vec{AD} + \frac{2}{3} \vec{DE} = \vec{AF} + \vec{AE} - \frac{2}{3}\vec{a}$.

$\vec{AD} = \vec{AF} + \vec{FE} = \vec{AF} + 2\vec{AB} = \vec{b} + \vec{a}$なので、$\vec{AD} = \vec{a}+\vec{b}$.

$\vec{DE} = \vec{CF} = -\vec{a}$.

$\vec{AP} = \vec{AD} + \vec{DP} = \vec{AD} + \frac{2}{3} \vec{DE} = (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{2}{3}(-\vec{a}) = \vec{a} + \vec{AF} + \frac{2}{3}(-\vec{a}) = (\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{a}) + \vec{AF} = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b}$

直線AP上に点Qがあるので、実数sを用いて、

$\vec{AQ} = k\vec{AP} = \frac{1}{3} k\vec{a} + k\vec{b}$

直線BF上に点Qがあるので、実数tを用いて、

$\vec{AQ} = \vec{AF} + t\vec{FB} = \vec{b} + t(\vec{AB} - \vec{AF}) = \vec{b} + t(\vec{a} - \vec{b}) = t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

係数を比較して、

$\frac{1}{3}k = t$

$k = 1-t$

$\frac{1}{3}k + t = \frac{1}{3}k + \frac{1}{3}k = \frac{2}{3}k = 1$

$k = \frac{3}{2}$

$t = \frac{1}{3}k = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

$\vec{AQ} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

$|\vec{AQ}| = |\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}| = \frac{1}{2} |\vec{a} + \vec{b}|$.

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 1 + 2(1)(1) \cos(\pi/3) + 1 = 1+ 2(1)(1)(\frac{1}{2}) + 1 = 3$

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{3}$

$|\vec{AQ}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$

線分BF上にQがある条件から、$\vec{FQ} = k \vec{FB}$

$\vec{AQ} = \vec{AF} + \vec{FQ} = \vec{AF} + k \vec{FB} = \vec{b} + k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} + (1-k)\vec{b}$

線分AP上にQがある条件から、$\vec{AQ} = m\vec{AP} = m(\vec{AD} + \frac{2}{3}\vec{DE}) = m(\vec{a}+\vec{b} + \frac{2}{3}(-\vec{a})) = m(\frac{1}{3}\vec{a}+\vec{b})$.

$k=\frac{m}{3}$

$1-k=m$

$1-\frac{m}{3} = m$

$1 = \frac{4}{3} m$

$m = \frac{3}{4}$

$k = \frac{1}{4}$

$\vec{AQ} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$.

$|\vec{AQ}|^2 = \frac{1}{16} |\vec{a}|^2 + \frac{2}{16} (3) \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{9}{16} |\vec{b}|^2 = \frac{1}{16} + \frac{6}{16}(\frac{1}{2}) + \frac{9}{16} = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} + \frac{9}{16} = \frac{13}{16}$.

$|\vec{AQ}| = \frac{\sqrt{13}}{4}$.

3. 最終的な答え

$\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$, $\vec{AQ} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$, $|\vec{AQ}| = \frac{\sqrt{13}}{4}$