$x$ の2次不等式 $6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど10個となるような、正の整数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ の2次不等式 $6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど10個となるような、正の整数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次不等式を因数分解します。

$6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$

$6x^2 - (16a+7)x + (10a^2 + 9a + 2) < 0$

$(2x - (5a+2))(3x - (2a+1)) < 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲は、 $2x - (5a+2) = 0$ と $3x - (2a+1) = 0$ の解の大小関係によって変わります。つまり、$x = \frac{5a+2}{2}$ と $x = \frac{2a+1}{3}$ の大小関係によって変わります。

ここで、$f(a) = \frac{5a+2}{2}$ と $g(a) = \frac{2a+1}{3}$ とおき、大小関係を調べます。

$f(a) - g(a) = \frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} = \frac{15a+6 - 4a - 2}{6} = \frac{11a+4}{6}$

$a$ は正の整数であるから、$11a+4 > 0$ より $f(a) > g(a)$ が成り立ちます。

よって、$\frac{2a+1}{3} < x < \frac{5a+2}{2}$ となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ が10個であるためには、 $\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3}$ が10より少し大きくなる必要があります。

つまり、 $\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3}$ の範囲の幅が 10 より大きく、11以下である必要があります。

$\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} = \frac{11a+4}{6}$

よって、 $10 < \frac{11a+4}{6} \leq 11$

$60 < 11a + 4 \leq 66$

$56 < 11a \leq 62$

$\frac{56}{11} < a \leq \frac{62}{11}$

$5.09 < a \leq 5.63$

$a$ は整数なので、$a=5$ となります。

$a=5$ の時、 $\frac{2a+1}{3} = \frac{11}{3} = 3.666...$ と $\frac{5a+2}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$ となります。

このとき、$4 \le x \le 13$ であり、整数 $x$ の個数は $13-4+1=10$ 個です。

3. 最終的な答え

$a = 5$