以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。 (1) $\frac{a}{b}$ が有理数かつ $b$ が有理数ならば $a$ は有理数である。 (2) $\frac{a}{b}$ が有理数かつ $a$ が有理数ならば $b$ は有理数である。

1. 問題の内容

以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。

(1) $\frac{a}{b}$ が有理数かつ $b$ が有理数ならば $a$ は有理数である。

(2) $\frac{a}{b}$ が有理数かつ $a$ が有理数ならば $b$ は有理数である。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{a}{b}$ が有理数かつ $b$ が有理数ならば $a$ は有理数であるかについて検討します。

$\frac{a}{b} = r$ (rは有理数)と表せるとします。

このとき、$a = br$ となります。

$b$ と $r$ が有理数なので、$br$ も有理数です。

したがって、$a$ は有理数となります。

よって、命題(1)は真です。

(2) $\frac{a}{b}$ が有理数かつ $a$ が有理数ならば $b$ は有理数であるかについて検討します。

$\frac{a}{b} = r$ (rは有理数)と表せるとします。

このとき、$b = \frac{a}{r}$ となります。

$a$ と $r$ が有理数なので、$\frac{a}{r}$ も有理数です。ただし、$r \neq 0$ の場合です。

$r=0$、つまり$\frac{a}{b}=0$のとき、$a=0$であれば、$b$の値によらずに成立します。

例えば、$a = 0$、$\frac{a}{b} = 0$とすると、$b$ が無理数でも成立します。

したがって、命題(2)は偽です。

3. 最終的な答え

(1)真、(2)偽なので、選択肢3が正しいです。