以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択します。 (1) $n$を整数として、$n$が偶数ならば、$n^2$も偶数である。 (2) $a, b$を実数として、$a^2 + b^2 = 0$ ならば、$ab \neq 0$である。

1. 問題の内容

以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択します。

(1) $n$を整数として、$n$が偶数ならば、$n^2$も偶数である。

(2) $a, b$を実数として、$a^2 + b^2 = 0$ ならば、$ab \neq 0$である。

2. 解き方の手順

(1) $n$が偶数のとき、$n = 2k$（$k$は整数）と表せます。すると、$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$となり、$2k^2$は整数なので、$n^2$も偶数です。よって、命題(1)は真です。

(2) $a^2 + b^2 = 0$であり、$a$と$b$は実数であることから、$a^2 \geq 0$かつ$b^2 \geq 0$です。したがって、$a^2 + b^2 = 0$が成り立つのは、$a^2 = 0$かつ$b^2 = 0$のとき、つまり、$a = 0$かつ$b = 0$のときだけです。このとき、$ab = 0 \times 0 = 0$となります。したがって、$a^2 + b^2 = 0$ ならば、$ab = 0$であり、$ab \neq 0$ではありません。よって、命題(2)は偽です。

したがって、命題(1)は真で、命題(2)は偽です。

3. 最終的な答え

1 (1)真 (2)偽