2次不等式 $6x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど10個となるような、正の整数 $a$ の値を求める問題です。

代数学二次不等式因数分解整数解不等式
2025/7/8

1. 問題の内容

2次不等式 6x2(16a+7)x+(2a+1)(5a+2)<06x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0 を満たす整数 xx がちょうど10個となるような、正の整数 aa の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次不等式を因数分解します。
6x2(16a+7)x+(2a+1)(5a+2)<06x^2 - (16a+7)x + (2a+1)(5a+2) < 0
(2x(5a+2))(3x(2a+1))<0(2x - (5a+2))(3x - (2a+1)) < 0
したがって、不等式を満たす xx の範囲は、α<x<β\alpha < x < \beta となるか、β<x<α\beta < x < \alpha となります。ここで、α=5a+22\alpha = \frac{5a+2}{2}β=2a+13\beta = \frac{2a+1}{3} とおきます。
a>0a > 0 のとき 5a+22>2a+13\frac{5a+2}{2} > \frac{2a+1}{3} なので、不等式を満たす xx の範囲は次のようになります。
2a+13<x<5a+22\frac{2a+1}{3} < x < \frac{5a+2}{2}
この範囲に含まれる整数の個数が10個となるような、aa の値を求めます。
5a+222a+13>10\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} > 10 でなければなりません。
区間長 5a+222a+13\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} が10より少し大きければ、整数解が10個になる可能性があります。
整数 xx の個数が10個であることから、
5a+222a+1310\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} \approx 10
15a+64a2610\frac{15a+6 - 4a-2}{6} \approx 10
11a+4610\frac{11a+4}{6} \approx 10
11a+46011a+4 \approx 60
11a5611a \approx 56
a56115.09a \approx \frac{56}{11} \approx 5.09
したがって、aa が5近辺の整数である可能性が高いです。
a=5a=5 のとき、区間は 2(5)+13<x<5(5)+22\frac{2(5)+1}{3} < x < \frac{5(5)+2}{2}、すなわち 113<x<272\frac{11}{3} < x < \frac{27}{2} となり、3.66<x<13.53.66 < x < 13.5 となります。この区間には、整数 4,5,6,7,8,9,10,11,12,134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 の10個の整数が含まれます。
したがって、a=5a=5 が答えとなります。
a=4a=4 のとき、2(4)+13<x<5(4)+22\frac{2(4)+1}{3} < x < \frac{5(4)+2}{2}、すなわち 93<x<222\frac{9}{3} < x < \frac{22}{2} となり、3<x<113 < x < 11 となります。この区間には、整数 4,5,6,7,8,9,104, 5, 6, 7, 8, 9, 10 の7個の整数が含まれます。
a=6a=6 のとき、2(6)+13<x<5(6)+22\frac{2(6)+1}{3} < x < \frac{5(6)+2}{2}、すなわち 133<x<322\frac{13}{3} < x < \frac{32}{2} となり、4.33<x<164.33 < x < 16 となります。この区間には、整数 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 の11個の整数が含まれます。

3. 最終的な答え

5

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