与えられた連分数の式を簡略化します。問題の式は、$\alpha - \frac{\alpha}{1+\frac{1+\alpha}{\alpha^2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた連分数の式を簡略化します。問題の式は、$\alpha - \frac{\alpha}{1+\frac{1+\alpha}{\alpha^2}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母の分数を簡略化します。

$1+\frac{1+\alpha}{\alpha^2}$ を計算します。

$\frac{\alpha^2}{\alpha^2} + \frac{1+\alpha}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 + 1 + \alpha}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 + \alpha + 1}{\alpha^2}$

次に、$\frac{\alpha}{1+\frac{1+\alpha}{\alpha^2}}$ の部分を簡略化します。

$\frac{\alpha}{ \frac{\alpha^2 + \alpha + 1}{\alpha^2} } = \alpha \cdot \frac{\alpha^2}{\alpha^2 + \alpha + 1} = \frac{\alpha^3}{\alpha^2 + \alpha + 1}$

最後に、$\alpha - \frac{\alpha^3}{\alpha^2 + \alpha + 1}$ を計算します。

$\frac{\alpha(\alpha^2 + \alpha + 1)}{\alpha^2 + \alpha + 1} - \frac{\alpha^3}{\alpha^2 + \alpha + 1} = \frac{\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha - \alpha^3}{\alpha^2 + \alpha + 1} = \frac{\alpha^2 + \alpha}{\alpha^2 + \alpha + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{\alpha^2 + \alpha}{\alpha^2 + \alpha + 1}$