与えられた4つの指数方程式について、$x$ の値を求めます。 (1) $2^x = 8$ (2) $4^x = 32$ (3) $3^x = \frac{1}{81}$ (4) $(\frac{1}{25})^x = \frac{1}{5}$

1. 問題の内容

与えられた4つの指数方程式について、$x$ の値を求めます。

(1) $2^x = 8$

(2) $4^x = 32$

(3) $3^x = \frac{1}{81}$

(4) $(\frac{1}{25})^x = \frac{1}{5}$

2. 解き方の手順

(1) $2^x = 8$

8を2の累乗で表します。

$8 = 2^3$

したがって、$2^x = 2^3$。

指数を比較すると、$x = 3$

(2) $4^x = 32$

4と32を2の累乗で表します。

$4 = 2^2$

$32 = 2^5$

したがって、$(2^2)^x = 2^5$。

$2^{2x} = 2^5$

指数を比較すると、$2x = 5$。

両辺を2で割ると、$x = \frac{5}{2}$

(3) $3^x = \frac{1}{81}$

81を3の累乗で表します。

$81 = 3^4$

したがって、$3^x = \frac{1}{3^4}$。

$\frac{1}{3^4} = 3^{-4}$ であるから、$3^x = 3^{-4}$

指数を比較すると、$x = -4$。

(4) $(\frac{1}{25})^x = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{25}$と$\frac{1}{5}$を5の累乗で表します。

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

したがって、$(5^{-2})^x = 5^{-1}$。

$5^{-2x} = 5^{-1}$

指数を比較すると、$-2x = -1$。

両辺を-2で割ると、$x = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$

(2) $x = \frac{5}{2}$

(3) $x = -4$

(4) $x = \frac{1}{2}$