実数 $m$ に対し、$x$ の関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とおく。 (1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表す。 (2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表す。 (3) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

実数 $m$ に対し、$x$ の関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とおく。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表す。

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表す。

(3) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 + 3x + m = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m$

軸は $x = -\frac{3}{2}$ である。

(1) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$m \le x \le m+2$ の範囲に $x = -\frac{3}{2}$ が含まれるかどうかで場合分けを行う。

(i) $m \le -\frac{3}{2} \le m+2$ のとき、$g = f(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} + m$

$m \le -\frac{3}{2} \le m+2 \Leftrightarrow m \le -\frac{3}{2}$ かつ $m \ge -\frac{7}{2}$

$-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ であるが、$m > -\frac{3}{2}$ という条件に矛盾するので、この場合は起こらない。

(ii) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、軸が範囲の外にある。

$f(x)$ は $x$ が増加するにつれて増加するので、$x = m$ で最小値をとる。

$g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$

(2) $m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$m \le x \le m+2$ の範囲に $x = -\frac{3}{2}$ が含まれるかどうかで場合分けを行う。

(i) $m \le -\frac{3}{2} \le m+2$ のとき、$g = f(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} + m$

$m \le -\frac{3}{2} \le m+2 \Leftrightarrow m \le -\frac{3}{2}$ かつ $m \ge -\frac{7}{2}$

$-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ であり、$m \le -\frac{3}{2}$ という条件を満たすので、この場合は、$g = -\frac{9}{4} + m$

(ii) $m+2 < -\frac{3}{2}$ のとき、$m < -\frac{7}{2}$

$f(x)$ は $x$ が増加するにつれて減少するので、$x = m+2$ で最小値をとる。

$g = f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10$

(3) (1)(2)の結果をまとめると

$m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g = m^2 + 4m$

$-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき、$g = m - \frac{9}{4}$

$m < -\frac{7}{2}$ のとき、$g = m^2 + 8m + 10$

$g$ を $m$ の関数と見て、$m$ の範囲で場合分けして最小値を考える。

$g = m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4$ ($m > -\frac{3}{2}$)

$m > -\frac{3}{2}$ より、$m = -\frac{3}{2}$の時、$g = (-\frac{3}{2})^2 + 4(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 6 = \frac{9-24}{4} = -\frac{15}{4}$

$m = -2$の時、$g = -4$

$g = m - \frac{9}{4}$ ($-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$)

$g$ は単調増加なので、$m = -\frac{7}{2}$ で最小値をとる。

$g = -\frac{7}{2} - \frac{9}{4} = \frac{-14-9}{4} = -\frac{23}{4}$

$g = -\frac{3}{2} - \frac{9}{4} = \frac{-6-9}{4} = -\frac{15}{4}$

$g = m^2 + 8m + 10 = (m+4)^2 - 6$ ($m < -\frac{7}{2}$)

$m < -\frac{7}{2}$ のとき、$m = -4$の時、$g = (-4+4)^2 - 6 = -6$

$m = -\frac{7}{2}$の時、$g = (-\frac{7}{2} + 4)^2 - 6 = (\frac{1}{2})^2 - 6 = \frac{1}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{23}{4}$

以上より、$g$ の最小値は $-6$ である。

3. 最終的な答え

(1) $g = m^2 + 4m$

(2) $m \le -\frac{7}{2}$ のとき $g = m^2 + 8m + 10$、 $-\frac{7}{2} < m \le -\frac{3}{2}$ のとき $g = m - \frac{9}{4}$

(3) $-6$