曲線 $C: \begin{cases} x = 1 - \cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ ($0 \le t \le \pi$) の長さ $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: \begin{cases} x = 1 - \cos t \\ y = \sin t \end{cases}$ ($0 \le t \le \pi$) の長さ $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、以下の式で計算できます。

$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (\sin t)^2 + (\cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1$

したがって、

$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{1} dt = \int_{0}^{\pi} 1 dt = [t]_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi$

3. 最終的な答え

$L = \pi$

したがって、選択肢の②が正しいです。