関数 $z = \frac{1}{1+x-y}$ を $x$ と $y$ でそれぞれ偏微分し、$z_x$ と $z_y$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $z = \frac{1}{1+x-y}$ を $x$ と $y$ でそれぞれ偏微分し、$z_x$ と $z_y$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ で偏微分することを考える。$y$ は定数とみなす。

$z = (1+x-y)^{-1}$ と書き換える。合成関数の微分公式を使うと、

$$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -1 (1+x-y)^{-2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (1+x-y) = -(1+x-y)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(1+x-y)^2}$$

次に、$z$ を $y$ で偏微分することを考える。$x$ は定数とみなす。

$z = (1+x-y)^{-1}$ と書き換える。合成関数の微分公式を使うと、

$$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -1 (1+x-y)^{-2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (1+x-y) = -(1+x-y)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(1+x-y)^2}$$

3. 最終的な答え

$$z_x = -\frac{1}{(1+x-y)^2}$$

$$z_y = \frac{1}{(1+x-y)^2}$$