$z = \frac{1}{1+x-y}$ を偏微分して、$z_x$ と $z_y$ を求める。

1. 問題の内容

$z = \frac{1}{1+x-y}$ を偏微分して、$z_x$ と $z_y$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z = (1+x-y)^{-1}$ と書き換えます。

$z_x$ を求めるには、$y$ を定数と見て、$x$ で偏微分します。

合成関数の微分を用いると、

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z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -1(1+x-y)^{-2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(1+x-y) = -1(1+x-y)^{-2} \cdot 1 = -(1+x-y)^{-2} = -\frac{1}{(1+x-y)^2}

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$z_y$ を求めるには、$x$ を定数と見て、$y$ で偏微分します。

合成関数の微分を用いると、

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z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -1(1+x-y)^{-2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(1+x-y) = -1(1+x-y)^{-2} \cdot (-1) = (1+x-y)^{-2} = \frac{1}{(1+x-y)^2}

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3. 最終的な答え

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z_x = -\frac{1}{(1+x-y)^2} \\

z_y = \frac{1}{(1+x-y)^2}

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