$x = y^2 - 2y + 3$、x軸、y軸、および直線 $y = 3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

## 問題 1

1. 問題の内容

$x = y^2 - 2y + 3$、x軸、y軸、および直線 $y = 3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = y^2 - 2y + 3$ を平方完成します。

$x = (y-1)^2 + 2$

これは頂点が $(2, 1)$ で、y軸に関して対称な放物線です。

面積を求めるためには、積分を行う必要があります。積分区間は $y=0$ から $y=3$ です。

積分する関数は、$x = y^2 - 2y + 3$ です。

面積$S$は次のように計算できます。

$S = \int_{0}^{3} (y^2 - 2y + 3) dy$

$S = [\frac{1}{3}y^3 - y^2 + 3y]_0^3$

$S = (\frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 + 3(3)) - (\frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 + 3(0))$

$S = (9 - 9 + 9) - (0 - 0 + 0)$

$S = 9$

しかし、求めたいのは、x軸、y軸、曲線および直線で囲まれた部分の面積です。

そのため、$x=0$の時の$y$の値を求めます。

$0 = y^2 - 2y + 3$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4-12}}{2}$

実数解を持たないため、x軸との交点はありません。

求める面積は、y軸から曲線までの面積を積分区間 $y=0$ から $y=3$ で積分したものから、y軸と直線$y=3$、$x=0$で囲まれた長方形の面積を引いたものになります。

しかし、y軸は$x=0$の直線なので、$x$軸、$y$軸、直線$y=3$および曲線で囲まれた面積を求めます。$x = y^2 - 2y + 3$を$y$について積分します。$y$の範囲は0から3です。

$\int_{0}^{3} (y^2-2y+3) dy = [\frac{y^3}{3} - y^2 + 3y]_0^3 = \frac{27}{3} - 9 + 9 = 9$.

3. 最終的な答え

9

## 問題 2

1. 問題の内容

曲線 $x = e^y - 1$、直線 $x = e^2 - 1$、および x 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x = e^y - 1$ より、$e^y = x + 1$。したがって、$y = \ln(x+1)$ です。

x軸との交点は、$y=0$ です。$x = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$。

したがって、積分区間は $x=0$ から $x=e^2 - 1$ です。

面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{e^2-1} \ln(x+1) dx$

$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$。$x=0$のとき、$u=1$。$x=e^2-1$のとき、$u=e^2$。

$S = \int_{1}^{e^2} \ln(u) du$

$\int \ln(u) du = u\ln(u) - u + C$ (部分積分)

$S = [u\ln(u) - u]_1^{e^2}$

$S = (e^2\ln(e^2) - e^2) - (1\ln(1) - 1)$

$S = (e^2(2) - e^2) - (0 - 1)$

$S = 2e^2 - e^2 + 1$

$S = e^2 + 1$

3. 最終的な答え

$e^2 + 1$