$S_n = \frac{1}{n} \left\{ \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n-1}{n}\pi \right\}$ と定義されているとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$S_n = \frac{1}{n} \left\{ \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n-1}{n}\pi \right\}$ と定義されているとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

これはリーマン和の考え方を利用します。

$S_n$ は以下のように書き換えることができます。

$S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n}$

$n \to \infty$ の極限を考えると、これは定積分で表現できます。積分区間は $[0, 1]$ であり、積分される関数は $f(x) = \sin (\pi x)$ です。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \sin(\pi x) dx$

この定積分を計算します。

$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi) - \left( -\frac{1}{\pi} \cos(0) \right) = -\frac{1}{\pi} (-1) + \frac{1}{\pi} (1) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{2}{\pi}$