軸が直線 $x=-4$ で2点 $(-6, 14)$, $(0, 20)$ を通る2次関数がある。このとき、$x=2$ のときの $y$ の値を求める。

代数学二次関数放物線連立方程式関数の決定
2025/7/8

1. 問題の内容

軸が直線 x=4x=-4 で2点 (6,14)(-6, 14), (0,20)(0, 20) を通る2次関数がある。このとき、x=2x=2 のときの yy の値を求める。

2. 解き方の手順

放物線の軸が x=4x = -4 であることから、求める2次関数は y=a(x+4)2+qy = a(x+4)^2 + q の形で表せる。
ここに、与えられた2点 (6,14)(-6, 14), (0,20)(0, 20) を代入して、連立方程式を解き、aaqq の値を求める。
まず、点 (6,14)(-6, 14) を代入すると、
14=a(6+4)2+q14 = a(-6+4)^2 + q
14=a(2)2+q14 = a(-2)^2 + q
14=4a+q14 = 4a + q
次に、点 (0,20)(0, 20) を代入すると、
20=a(0+4)2+q20 = a(0+4)^2 + q
20=a(4)2+q20 = a(4)^2 + q
20=16a+q20 = 16a + q
この2つの式から連立方程式を解く。
16a+q=2016a + q = 20
4a+q=144a + q = 14
上の式から下の式を引くと、
(16a4a)+(qq)=2014(16a - 4a) + (q - q) = 20 - 14
12a=612a = 6
a=612=12a = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
a=12a = \frac{1}{2}4a+q=144a + q = 14 に代入すると、
4(12)+q=144(\frac{1}{2}) + q = 14
2+q=142 + q = 14
q=12q = 12
したがって、求める2次関数は y=12(x+4)2+12y = \frac{1}{2}(x+4)^2 + 12 である。
x=2x = 2 のときの yy の値を求める。
y=12(2+4)2+12y = \frac{1}{2}(2+4)^2 + 12
y=12(6)2+12y = \frac{1}{2}(6)^2 + 12
y=12(36)+12y = \frac{1}{2}(36) + 12
y=18+12y = 18 + 12
y=30y = 30

3. 最終的な答え

30