A, B, B, C, C, D, D, D, D の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める問題です。

1. 問題の内容

A, B, B, C, C, D, D, D, D の10文字の中から4文字を選んで並べてできる順列の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

異なる文字の種類数とそれぞれの個数に着目します。Aが1個、Bが2個、Cが2個、Dが4個です。4文字を選んで並べる場合の数を、以下のケースに分けて考えます。

* **4文字すべて異なる場合**：A, B, C, D の4種類から4つ選んで並べるので、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

* **同じ文字2つ、異なる文字2つ**：同じ文字はB, C, Dのいずれかです。

* 同じ文字がBの場合：B, Bと、A, C, Dから2つ選びます。${}_3 C_2 = 3$ 通りの選び方があり、それぞれの並べ方は $\frac{4!}{2!} = 12$ 通り。よって $3 \times 12 = 36$ 通り。

* 同じ文字がCの場合：C, Cと、A, B, Dから2つ選びます。${}_3 C_2 = 3$ 通りの選び方があり、それぞれの並べ方は $\frac{4!}{2!} = 12$ 通り。よって $3 \times 12 = 36$ 通り。

* 同じ文字がDの場合：D, Dと、A, B, Cから2つ選びます。${}_3 C_2 = 3$ 通りの選び方があり、それぞれの並べ方は $\frac{4!}{2!} = 12$ 通り。よって $3 \times 12 = 36$ 通り。

以上より、$36+36+36=108$ 通り。

* **同じ文字2つ、同じ文字2つ**：同じ文字はB, C, Dのいずれかです。

* B, BとC, Cの場合：並べ方は $\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

* B, BとD, Dの場合：並べ方は $\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

* C, CとD, Dの場合：並べ方は $\frac{4!}{2!2!} = 6$ 通り。

以上より、$6+6+6 = 18$ 通り。

* **同じ文字3つ、異なる文字1つ**：同じ文字はDのみ可能です。D, D, Dと、A, B, Cから1つ選びます。${}_3 C_1 = 3$ 通りの選び方があり、それぞれの並べ方は $\frac{4!}{3!} = 4$ 通り。よって $3 \times 4 = 12$ 通り。

* **同じ文字4つ**：同じ文字はDのみ可能です。D, D, D, D の並べ方は1通り。

すべてのケースを足し合わせます。

$24 + 108 + 18 + 12 + 1 = 163$ 通り。

3. 最終的な答え

163通り