$xy$平面上の放物線 $y = x^2 - 1$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ （ただし $r > 0$）の共有点の個数が最大になるような $r$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上の放物線 $y = x^2 - 1$ と円 $x^2 + y^2 = r^2$ （ただし $r > 0$）の共有点の個数が最大になるような $r$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線と円の式から $x, y$ を消去して、$r$ の関係式を求める。

$x^2 = y + 1$ を $x^2 + y^2 = r^2$ に代入すると、

$y + 1 + y^2 = r^2$

$y^2 + y + 1 - r^2 = 0$

この $y$ の2次方程式の実数解の個数と、もとの放物線と円の共有点の個数は対応する。なぜなら、$y$ の値が決まれば $x^2 = y+1$ より、$x = \pm \sqrt{y+1}$ が得られ、$y \ge -1$ であれば2つの $x$ が得られるからである。もし $y = -1$ であれば $x = 0$ となり、$x$ の値は1つに決まる。

$y<-1$　のときは実数解は存在しない。

$y$ の2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = 1^2 - 4(1 - r^2) = 1 - 4 + 4r^2 = 4r^2 - 3$

$D > 0$ のとき、2つの異なる実数解を持つ。$D = 0$ のとき、重解を持つ。$D < 0$ のとき、実数解を持たない。

したがって、$4r^2 - 3 > 0$ より、$r^2 > \frac{3}{4}$ なので、$r > \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

また、$y^2 + y + 1 - r^2 = 0$ の解は

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$

ここで、$y \ge -1$ でなければならない。

もし2つの解がともに $y \ge -1$ であれば、共有点は4つとなる。

もし1つの解のみが $y \ge -1$ であれば、共有点は2つとなる。

もし解が $y = -1$ であれば、共有点は3つとなる。

2つの解がともに $y < -1$ であれば、共有点は0個となる。

$y = \frac{-1 + \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$ と $y = \frac{-1 - \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$ である。

$y$ の2次方程式の解が2つとも $y \ge -1$ となる条件は、解と係数の関係より

2つの解の和： $-1 \ge -2$　これは常に成り立つ。

2つの解の積： $1 - r^2 \ge 1$　より　$r^2 \le 0$　$r > 0$ より不適。

よって解の一つが -1より小さくなる可能性を考える。

大きい方の解が $y = -1$ になるときを考える。

$y=-1$ を $y^2 + y + 1 - r^2 = 0$ に代入すると、

$1 - 1 + 1 - r^2 = 0$　より　$r^2 = 1$　$r=1$

$r=1$ のとき、解は $y = -1, 0$ となるので、共有点は3個。

共有点が4個となる条件は、$\frac{\sqrt{3}}{2} < r < 1$　では、$y$ の2つの解の大きい方は $-1 < y < 0$ となり、小さい方は $y < -1$ となるので、$x$ が実数解を持たない。したがって共有点は2個となる。

$r=1$ のとき、$y = 0$ なので、$x = \pm 1$ 。共有点は $(1, 0), (-1, 0)$ と、$y = -1$ のときの $(0, -1)$ の計3点となる。

$r > 1$ のとき、$D>0$ より2つの実数解を持つ。2つの解 $y_1, y_2$ について、$y_1 > -1$ かつ $y_2 > -1$ となるための $r$ の条件を考える。$f(y) = y^2 + y + 1 - r^2$ とすると、$f(-1) = 1 > 0$ となる必要があり、$1 - r^2 > 0$ より $r < 1$。

ところが、$y$ の2つの解 $y_1, y_2$ がともに $-1 < y < 0$ を満たすとき、 $f(-1) > 0$ かつ $f(0) < 0$ であり、 $f(0) = 1 - r^2 < 0$ より $r > 1$ となる。

$r = \sqrt{5}/2$のとき、$y = \frac{-1 \pm \sqrt{5-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$。$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} \approx 0.207 > -1$ であり、$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \approx -1.207 < -1$ なので、共有点は2つとなる。

$r = \sqrt{2}$のとき、$y = \frac{-1 \pm \sqrt{8-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618 > -1$ であり、$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618 < -1$ なので、共有点は2つとなる。

共有点が4つとなるのは、$x^2 + (x^2 - 1)^2 = r^2$ が4つの実数解を持つとき。

$x^4 - x^2 + 1 - r^2 = 0$

$t = x^2$ とすると、$t^2 - t + 1 - r^2 = 0$。これが正の実数解を2つ持つとき、$x$ は4つの実数解を持つ。

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1 - r^2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{4r^2 - 3}}{2}$

$4r^2 - 3 > 0$ より、$r > \frac{\sqrt{3}}{2}$。また、$t_1, t_2 > 0$ なので、$t_1+t_2 = 1 > 0$ かつ $t_1t_2 = 1 - r^2 > 0$ より、$r < 1$。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{2} < r < 1$