2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ において、$a \le x \le a+2$ の範囲での最大値と最小値を求める。ただし、定数 $a$ の範囲は $0 < a < 1$ とする。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ において、$a \le x \le a+2$ の範囲での最大値と最小値を求める。ただし、定数 $a$ の範囲は $0 < a < 1$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

この関数は、$x = 1$ のときに最小値 $2$ を取る。軸は $x=1$ である。

定義域は $a \le x \le a+2$ であり、$0 < a < 1$ である。

(a) 最大値を求める。

$0 < a < 1$ より、$a+2 > 1$ である。定義域の端点である $x=a$ と $x=a+2$ での $f(x)$ の値を比較する。

$f(a) = a^2 - 2a + 3$

$f(a+2) = (a+2)^2 - 2(a+2) + 3 = a^2 + 4a + 4 - 2a - 4 + 3 = a^2 + 2a + 3$

$f(a+2) - f(a) = (a^2 + 2a + 3) - (a^2 - 2a + 3) = 4a > 0$

よって、$f(a+2) > f(a)$ であるから、最大値は $f(a+2) = a^2 + 2a + 3$ である。これは、$x = a+2$ のときである。

(b) 最小値を求める。

軸 $x=1$ が定義域 $a \le x \le a+2$ に含まれるかどうかを考える。

$a \le 1 \le a+2$ である必要がある。

$a \le 1$ かつ $1 \le a+2$。

$a \le 1$ は問題ない。

$1 \le a+2$ より、$a \ge -1$ であり、$0 < a < 1$ なので常に成り立つ。

したがって、定義域の中に軸があるので、最小値は頂点の $y$ 座標の値 $2$ である。

最小値を取る $x$ の値は、$x=1$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $a^2 + 2a + 3$ ($x = a+2$ のとき)

最小値: $2$ ($x = 1$ のとき)