2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 11$ の定義域が $a \le x \le a+2$ であるときの最大値と最小値を求めよ。ただし、$1 < a < 2$ とする。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 11$ の定義域が $a \le x \le a+2$ であるときの最大値と最小値を求めよ。ただし、$1 < a < 2$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x-3)^2 + 2$

軸は $x=3$ であり、下に凸な放物線です。定義域 $a \le x \le a+2$ と $1 < a < 2$ より、$3 < a+2 < 4$ です。

したがって、軸 $x=3$ は定義域 $a \le x \le a+2$ の中に含まれません。

よって、$f(x)$ は定義域内で単調減少または単調増加します。

(i) $a \le x \le a+2$ で単調減少の場合、最大値は $f(a)$ で最小値は $f(a+2)$ です。

最大値は $f(a) = a^2 - 6a + 11$ です。

最小値は $f(a+2) = (a+2)^2 - 6(a+2) + 11 = a^2 + 4a + 4 - 6a - 12 + 11 = a^2 - 2a + 3$ です。

(ii) $a \le x \le a+2$ で単調増加の場合、最大値は $f(a+2)$ で最小値は $f(a)$ です。これは上記と逆になるだけなので、考え方は同じです。

軸が定義域に含まれないことから、定義域の両端のどちらかで最大値または最小値をとります。

$1 < a < 2$ より、$f(a) = a^2 - 6a + 11$ と $f(a+2) = a^2 - 2a + 3$ を比べます。

$f(a) - f(a+2) = (a^2 - 6a + 11) - (a^2 - 2a + 3) = -4a + 8 = -4(a-2)$

$1 < a < 2$ より、$a-2 < 0$ なので、$-4(a-2) > 0$。

よって、$f(a) > f(a+2)$ となり、$x=a$ で最大、$x=a+2$ で最小となります。

最大値は $a^2 - 6a + 11$ で、最小値は $a^2 - 2a + 3$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $a^2 - 6a + 11$ ($x=a$ のとき)

最小値: $a^2 - 2a + 3$ ($x=a+2$ のとき)