2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 11$ の $a \le x \le a+2$ における最大値と最小値を求めます。ただし、$1 < a < 2$ です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 11$ の $a \le x \le a+2$ における最大値と最小値を求めます。ただし、$1 < a < 2$ です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 6x + 11 = (x-3)^2 - 9 + 11 = (x-3)^2 + 2$

よって、頂点は $(3, 2)$ であり、下に凸の放物線です。

次に、定義域 $a \le x \le a+2$ と頂点の位置関係を考慮します。

$1 < a < 2$ より、$3 < a+2 < 4$ です。

定義域に頂点 $x=3$ が含まれるかどうかを調べます。

$a < 3 < a+2$ が成立するかどうかを確認します。$a < 3$ は常に成立します。$3 < a+2$ より、$1 < a$ となり、これも常に成立します。したがって、定義域内に頂点 $x=3$ が存在します。

最小値について：

頂点 $x=3$ が定義域内にあるので、最小値は $f(3) = 2$ です。

最小値をとる $x$ の値は $x=3$ です。

最大値について：

$a \le x \le a+2$ の範囲で、$x=a$ と $x=a+2$ のどちらが頂点から遠いかを考えます。

頂点 $x=3$ から $x=a$ までの距離は $|a-3|$ であり、頂点 $x=3$ から $x=a+2$ までの距離は $|a+2-3| = |a-1|$ です。

$1 < a < 2$ より、$|a-3| = 3-a$ であり、$|a-1| = a-1$ です。

$3-a$ と $a-1$ の大小関係を調べます。$3-a > a-1$ ならば $x=a$ で最大値をとり、$3-a < a-1$ ならば $x=a+2$ で最大値をとります。

$3-a > a-1$ を解くと $4 > 2a$ となり、$a < 2$ です。これは $1 < a < 2$ の範囲で常に成立します。

したがって、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $f(a) = a^2 - 6a + 11$ です。

3. 最終的な答え

最大値 $a^2 - 6a + 11$ ($x=a$ のとき)

最小値 $2$ ($x=3$ のとき)