2次関数 $y = x^2 - 2x$ の $0 \leq x \leq 1$ における最大値、最小値とその時の $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x$ の $0 \leq x \leq 1$ における最大値、最小値とその時の $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

このグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x=1$ である。

定義域 $0 \leq x \leq 1$ における最大値、最小値を考える。

$x=0$ のとき $y = 0^2 - 2(0) = 0$

$x=1$ のとき $y = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

軸が $x=1$ なので、$x=1$ で最小値を取る。また、定義域の端点である $x=0$ と $x=1$ を比べると、$x=0$ の方が $y$ の値が大きい。

したがって、$x=0$ で最大値 $0$ をとり、$x=1$ で最小値 $-1$ をとる。

3. 最終的な答え

最大値 0 ($x = 0$)

最小値 -1 ($x = 1$)