ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ について、$|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=\sqrt{3}$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ とする。内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。また、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ について、$|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=\sqrt{3}$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ とする。内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。また、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|\vec{a}-\vec{b}|^2$ を計算します。

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

問題文より、$|\vec{a}|=1$、$|\vec{b}|=\sqrt{3}$、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ なので、これらを代入すると、

$(\sqrt{7})^2 = 1^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + (\sqrt{3})^2$

$7 = 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3$

$7 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 7 = -3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{3}{2}$

次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めます。内積の定義より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$

なので、

$-\frac{3}{2} = 1 \cdot \sqrt{3} \cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{3}{2}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta = \frac{5\pi}{6}$