$5 = (-2)^2 + 2a(-2) + b$ $5 = 4 - 4a + b$ $b = 4a + 1$

## 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(-2, 5)$ を通り、かつその頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

## 解き方の手順

1. 放物線が点 $(-2, 5)$ を通ることから、$x = -2, y = 5$ を代入して、$a, b$ の関係式を求める。

$5 = (-2)^2 + 2a(-2) + b$

$5 = 4 - 4a + b$

$b = 4a + 1$

2. 放物線の式を平方完成し、頂点の座標を求める。

$y = x^2 + 2ax + b$

$y = (x + a)^2 - a^2 + b$

よって、頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$

3. 頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあることから、頂点の座標を代入して、$a, b$ の関係式を求める。

$-a^2 + b = -(-a) + 3$

$-a^2 + b = a + 3$

4. $b = 4a + 1$ を $-a^2 + b = a + 3$ に代入して、$a$ についての二次方程式を解く。

$-a^2 + 4a + 1 = a + 3$

$-a^2 + 3a - 2 = 0$

$a^2 - 3a + 2 = 0$

$(a - 1)(a - 2) = 0$

$a = 1, 2$

5. $a$ の値それぞれに対応する $b$ の値を、$b = 4a + 1$ を用いて求める。

- $a = 1$ のとき、$b = 4(1) + 1 = 5$

- $a = 2$ のとき、$b = 4(2) + 1 = 9$

## 最終的な答え

$a = 1, b = 5$ または $a = 2, b = 9$