2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表し、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るときの平行移動量を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表し、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るときの平行移動量を求める。

2. 解き方の手順

まず、$G$ のグラフが $x$ 軸と $x=c$ と $x=c+4$ で交わることから、$G$ を表す2次関数は

$y = (x-c)(x-(c+4))$

と表せる。展開すると、

$y = x^2 - (c + c + 4)x + c(c+4)$

$y = x^2 - (2c + 4)x + c(c+4)$

したがって、アには 2 が、イには 4 が入る。

次に、$G$ が点 $(3, -1)$ を通ることから、

$-1 = 3^2 - (2c+4)(3) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$c^2 - 2c - 1 + 1 = 0$

$c^2 - 2c = 0$

$c(c-2) = 0$

$c = 0, 2$

$2 \le c \le 3$ より、$c = 2$ である。

$y = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$ に $c=2$ を代入すると、

$y = x^2 - 8x + 12$

平方完成すると、

$y = (x-4)^2 - 16 + 12$

$y = (x-4)^2 - 4$

$y = (x-4)^2 - 4$ は $y=x^2$ を $x$ 軸方向に 4、$y$ 軸方向に -4 だけ平行移動したものである。

したがって、ウには 4 が、エには 0 が、オカには -4 が入る。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：4

ウ：4

エ：0

オカ：-4