2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと $y=x^2-2(c+ア)x+c(c+イ)$ である。さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に ウ$+\sqrt{エ}$ , $y$ 軸方向に オカ だけ平行移動したものである。ア、イ、ウ、エ、オカを求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通るように平行移動して得られるグラフを $G$ とする。$G$ をグラフにもつ2次関数を $c$ を用いて表すと $y=x^2-2(c+ア)x+c(c+イ)$ である。さらに、$G$ が点 $(3, -1)$ を通るとき、$G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に ウ$+\sqrt{エ}$ , $y$ 軸方向に オカ だけ平行移動したものである。ア、イ、ウ、エ、オカを求めよ。

2. 解き方の手順

* $G$ は $x=c$ と $x=c+4$ で $y=0$ となるので、$y = (x-c)(x-(c+4))$ と表せる。

これを展開すると、

$y = x^2 - (c+c+4)x + c(c+4)$

$y = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$

与えられた式 $y=x^2-2(c+ア)x+c(c+イ)$ と比較すると、

$2(c+ア) = 2c+4$ なので、$c+ア = c+2$ より $ア = 2$

$c(c+イ) = c(c+4)$ より $イ = 4$

したがって、$G$ の方程式は $y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$ である。

* $G$ が点 $(3, -1)$ を通るので、

$-1 = 3^2 - 2(c+2)3 + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$0 = c^2 - 2c - 1 + 12 - 9$

$0 = c^2 - 2c + 2$

$c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(2)}}{2(1)}$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}$

計算し直します。

$-1 = 9 - 6(c+2) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$c^2 - 2c - 4 = 0$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$

$2 \le c \le 3$ なので、$c = 1 + \sqrt{5}$

* $G$ の頂点の $x$ 座標は $x = c+2$ なので、$x = 3 + \sqrt{5}$

また、$y = x^2$ の頂点の $x$ 座標は $x = 0$ なので、$x$ 軸方向の移動量は $3+\sqrt{5}$

* $G$ の頂点の $y$ 座標は、

$y = (x-c)(x-(c+4))$ に $x=c+2$ を代入すると、

$y = (c+2-c)(c+2-(c+4)) = 2(-2) = -4$

よって、$y$ 軸方向の移動量は $-4$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 3

エ: 5

オカ: -4