問題5は積分 $\int x\sqrt{x^2+1} dx$ を計算することです。 問題6は積分 $\int \cos^2 x \sin x dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題5は積分 $\int x\sqrt{x^2+1} dx$ を計算することです。

問題6は積分 $\int \cos^2 x \sin x dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

問題5:

1. $x^2+1 = t$ と置換します。

2. 両辺を微分すると、$2x dx = dt$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} dt$ です。

3. 積分を $t$ で書き換えます。$\int x\sqrt{x^2+1} dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{1/2} dt$

4. $\int t^{1/2} dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C$ なので、$\frac{1}{2} \int t^{1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{3} t^{3/2} + C$

5. $t = x^2+1$ を代入して、$x$ の関数に戻します。$\frac{1}{3} (x^2+1)^{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1} + C$

問題6:

1. $\cos x = t$ と置換します。

2. 両辺を微分すると、$-\sin x dx = dt$ となります。したがって、$\sin x dx = -dt$ です。

3. 積分を $t$ で書き換えます。$\int \cos^2 x \sin x dx = \int t^2 (-dt) = -\int t^2 dt$

4. $\int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C$ なので、$ -\int t^2 dt = -\frac{1}{3}t^3 + C$

5. $t = \cos x$ を代入して、$x$ の関数に戻します。$-\frac{1}{3}\cos^3 x + C$

3. 最終的な答え

問題5: $\frac{1}{3}(x^2+1)\sqrt{x^2+1} + C$

問題6: $-\frac{1}{3}\cos^3 x + C$