与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx$ (2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ (3) $\int \log |x^2 - 1| dx$ (4) $\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx$

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

(3) $\int \log |x^2 - 1| dx$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$x = u^4$ と置換します。すると、$dx = 4u^3 du$ となります。

$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1} dx = \int \frac{\sqrt{u^4}}{\sqrt[4]{(u^4)^3}+1} 4u^3 du = \int \frac{u^2}{u^3+1} 4u^3 du = 4 \int \frac{u^5}{u^3+1} du$

ここで、$\frac{u^5}{u^3+1}$ を筆算で計算すると、

$\frac{u^5}{u^3+1} = u^2 - \frac{u^2}{u^3+1}$ なので

$4 \int \frac{u^5}{u^3+1} du = 4 \int (u^2 - \frac{u^2}{u^3+1}) du = 4 (\int u^2 du - \int \frac{u^2}{u^3+1} du) = 4 (\frac{u^3}{3} - \frac{1}{3} \log |u^3+1|) + C = \frac{4}{3}u^3 - \frac{4}{3} \log |u^3+1| + C = \frac{4}{3} (\sqrt[4]{x})^3 - \frac{4}{3} \log |(\sqrt[4]{x})^3+1| + C = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \log |x^{\frac{3}{4}}+1| + C$

(2)

$u = \sqrt{x+1}$ と置換します。すると、$u^2 = x+1$ なので、$x = u^2-1$ であり、$dx = 2u du$ となります。

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}} = \int \frac{2u du}{(u^2-1)u} = 2 \int \frac{du}{u^2-1} = 2 \int \frac{1}{(u-1)(u+1)} du = 2 \int \frac{1}{2} (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}) du = \int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}) du = \log |u-1| - \log |u+1| + C = \log |\frac{u-1}{u+1}| + C = \log |\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3)

部分積分を用います。$\int \log|x^2-1| dx = x\log|x^2-1| - \int x \frac{2x}{x^2-1} dx = x\log|x^2-1| - \int \frac{2x^2}{x^2-1} dx = x\log|x^2-1| - 2\int \frac{x^2-1+1}{x^2-1} dx = x\log|x^2-1| - 2\int (1+\frac{1}{x^2-1}) dx = x\log|x^2-1| - 2x - 2\int \frac{1}{x^2-1} dx = x\log|x^2-1| - 2x - 2\int \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})dx = x\log|x^2-1| - 2x - \log|x-1| + \log|x+1| + C = x\log|x^2-1| - 2x + \log|\frac{x+1}{x-1}| + C = x\log|x^2-1| - 2x + \log|\frac{x+1}{x-1}| + C = x\log|x^2-1| - 2x + \log\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$.

(4)

$\int \frac{e^x}{e^x - e^{-x}} dx = \int \frac{e^x}{e^x - \frac{1}{e^x}} dx = \int \frac{e^x}{\frac{e^{2x}-1}{e^x}} dx = \int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1} dx$

$u = e^{2x}$ と置換すると、$du = 2e^{2x} dx$ なので、$dx = \frac{1}{2e^{2x}}du$ となります。

$\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1} dx = \int \frac{u}{u-1} \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u-1} du = \frac{1}{2} \log |u-1| + C = \frac{1}{2} \log |e^{2x}-1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \log |x^{\frac{3}{4}}+1| + C$

(2) $\log |\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3) $x\log|x^2-1| - 2x + \log\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$

(4) $\frac{1}{2} \log |e^{2x}-1| + C$