$\cos{\frac{5}{12}\pi}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos{\frac{5}{12}\pi}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{5}{12}\pi$ は、$\frac{\pi}{4}$ と $\frac{\pi}{6}$ の和として表すことができます。

$\frac{5}{12}\pi = \frac{3}{12}\pi + \frac{2}{12}\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$

したがって、$\cos{\frac{5}{12}\pi} = \cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})}$ となります。

$\cos{(\alpha + \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$ の加法定理を用いて、

$\cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \cos{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{6}} - \sin{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{6}}$

$\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ を代入します。

$\cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos{(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$