$(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x+2)^5$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(3x+2)^5$ を展開します。二項定理の公式は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a=3x$、$b=2$、$n=5$ です。$x^3$ の係数を求めるためには、$k=2$ の項を考えます。

${5 \choose 2} (3x)^{5-2} 2^2 = {5 \choose 2} (3x)^3 2^2$

二項係数 ${5 \choose 2}$ を計算します。

${5 \choose 2} = \frac{5!}{2! (5-2)!} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、$(3x)^3$ を計算します。

$(3x)^3 = 3^3 x^3 = 27x^3$

さらに、$2^2$ を計算します。

$2^2 = 4$

したがって、$x^3$ の項は以下のようになります。

$10 \times 27x^3 \times 4 = 10 \times 27 \times 4 \times x^3 = 1080x^3$

3. 最終的な答え

$x^3$ の係数は 1080 です。