以下の6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x} \right)$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1} x}{e^x + \log(1-x) - 1}$

1. 問題の内容

以下の6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x} \right)$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1} x}{e^x + \log(1-x) - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x}$

$x \to 0$のとき、$\sin x \approx x$となることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x}$

$e^x$をテイラー展開すると、$e^x = 1 + x + O(x^2)$となります。また、$\sin^{-1}x$をテイラー展開すると、$\sin^{-1}x = x + O(x^3)$となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - e^x}{\sin^{-1}x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 3x + O(x^2)) - (1 + x + O(x^2))}{x + O(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + O(x^2)}{x + O(x^3)} = 2$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1}$

$\sqrt{1+x^2}$をテイラー展開すると、$\sqrt{1+x^2} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$となります。

$(1+x)^{1/3}$をテイラー展開すると、$(1+x)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + O(x^3)$となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{(1+x)^{1/3} - x/3 - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2}x^2 + O(x^4)) - 1}{(1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + O(x^3)) - x/3 - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)}{-\frac{1}{9}x^2 + O(x^3)} = \frac{1/2}{-1/9} = -\frac{9}{2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x}$

$\cos x$をテイラー展開すると、$\cos x = 1 - \frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$となります。

$\log(1+x)$をテイラー展開すると、$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + O(x^3)$となります。

$\sin x$をテイラー展開すると、$\sin x = x + O(x^3)$となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - \frac{1}{2}x^2 + O(x^4))}{(x + O(x^3))^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)}{x^2 + O(x^4)} = -\frac{1}{2}$

(5) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x} \right)$

$\log(1+x)$をテイラー展開すると、$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$となります。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4))}{x(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4))} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^2 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{3}x^4 + O(x^5)} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1} x}{e^x + \log(1-x) - 1}$

$\tan x$をテイラー展開すると、$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$となります。

$\sin^{-1} x$をテイラー展開すると、$\sin^{-1} x = x + \frac{1}{6}x^3 + O(x^5)$となります。

$e^x$をテイラー展開すると、$e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)$となります。

$\log(1-x)$をテイラー展開すると、$\log(1-x) = -x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin^{-1} x}{e^x + \log(1-x) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)) - (x + \frac{1}{6}x^3 + O(x^5))}{(1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)) + (-x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6}x^3 + O(x^5)}{-\frac{1}{6}x^3 + O(x^4)} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{5}$

(2) $2$

(3) $-\frac{9}{2}$

(4) $-\frac{1}{2}$

(5) $\frac{1}{2}$

(6) $-1$