定積分 $\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx$ を計算します。

## 問題 (3) の解答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

$u = \log x$, $dv = x^2 \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用します。

$\int_{1}^{e} x^2 \log x \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \left[ \frac{x^3}{3} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{3} \, dx$

$= \left[ \frac{x^3}{3} \log x \right]_{1}^{e} - \left[ \frac{x^3}{9} \right]_{1}^{e}$

$= \left( \frac{e^3}{3} \log e - \frac{1^3}{3} \log 1 \right) - \left( \frac{e^3}{9} - \frac{1^3}{9} \right)$

$= \frac{e^3}{3} - 0 - \frac{e^3}{9} + \frac{1}{9}$

$= \frac{3e^3 - e^3}{9} + \frac{1}{9}$

$= \frac{2e^3}{9} + \frac{1}{9}$

$= \frac{2e^3 + 1}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{2e^3 + 1}{9}$

## 問題 (5) の解答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x = \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

また、$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = |\cos \theta| = \cos \theta$ （なぜなら $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ であるため、$\cos \theta \ge 0$）。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = -\frac{\pi}{4}$。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$。

したがって、

$\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 \theta \, d\theta$

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を使うと、

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \sin \left(-\frac{\pi}{2} \right) \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 1 \right]$

$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

$= \frac{\pi - 2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi - 2}{4}$