与えられた問題は、次の2つです。 (1) 不定積分 $\int (6x^2 - x + 1) dx$ を求める。 (2) 定積分 $\int_{0}^{2} (6x^2 - x + 1) dx$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の2つです。

(1) 不定積分 $\int (6x^2 - x + 1) dx$ を求める。

(2) 定積分 $\int_{0}^{2} (6x^2 - x + 1) dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int (6x^2 - x + 1) dx$ を計算します。

積分を各項に分解します。

$\int (6x^2 - x + 1) dx = 6 \int x^2 dx - \int x dx + \int 1 dx$

各項を積分します。

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2$

$\int 1 dx = x + C_3$

したがって、

$\int (6x^2 - x + 1) dx = 6(\frac{1}{3}x^3) - \frac{1}{2}x^2 + x + C = 2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

(2) 定積分 $\int_{0}^{2} (6x^2 - x + 1) dx$ を計算します。

まず、不定積分を計算します（上記(1)の結果を使用）。

$\int (6x^2 - x + 1) dx = 2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (6x^2 - x + 1) dx = [2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x]_{0}^{2} = (2(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 + 2) - (2(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 + 0) = (2(8) - \frac{1}{2}(4) + 2) - (0) = (16 - 2 + 2) = 16$

3. 最終的な答え

(1) $\int (6x^2 - x + 1) dx = 2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

(2) $\int_{0}^{2} (6x^2 - x + 1) dx = 16$