関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ の微分を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた画像の問題について、それぞれ解き方を説明します。

**問題(7)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は合成関数の形をしているため、微分を行う際には連鎖律（チェーンルール）を用いる必要があります。まず、$u = \log(x^2+1)$ と置くと、$y = \frac{1}{u}$ となります。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u^2} = -\frac{1}{(\log(x^2 + 1))^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \log(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

これらを掛け合わせると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(\log(x^2 + 1))^2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}$

**問題(8)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(1 - x^2)}{e^{2x}}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているため、微分を行う際には商の微分公式を用いる必要があります。

商の微分公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

ここで、$u = \log(1 - x^2)$ と $v = e^{2x}$ とします。

$u' = \frac{d}{dx} \log(1 - x^2) = \frac{-2x}{1 - x^2}$

$v' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-2x}{1 - x^2} \cdot e^{2x} - \log(1 - x^2) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{2x} (\frac{-2x}{1 - x^2} - 2\log(1 - x^2))}{e^{4x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-2x}{1 - x^2} - 2\log(1 - x^2)}{e^{2x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2(1 - x^2)\log(1 - x^2)}{(1 - x^2)e^{2x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2[x + (1 - x^2)\log(1 - x^2)]}{(1 - x^2)e^{2x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2[x + (1 - x^2)\log(1 - x^2)]}{(1 - x^2)e^{2x}}$