$\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分を使用します。

$u = \ln x$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x = 1$ のとき、$u = \ln 1 = 0$

$x = e$ のとき、$u = \ln e = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} u \, du$

これは簡単に積分できます。

$\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$