以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2} - 2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2} - 2}$

2. 解き方の手順

まず、$x = 2$を代入すると、分子は$2-\sqrt{3 \cdot 2 - 2} = 2 - \sqrt{4} = 0$、分母は$\sqrt{2+2}-2 = \sqrt{4}-2 = 0$となり、$\frac{0}{0}$の不定形となるため、式を整理して極限を求めます。

分子と分母をそれぞれ有理化します。

まず、分子を有理化します。

$\frac{x - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2} - 2} = \frac{(x - \sqrt{3x-2})(x + \sqrt{3x-2})}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})} = \frac{x^2 - (3x-2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})} = \frac{x^2 - 3x + 2}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})}$

さらに、分子を因数分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

次に、分母を有理化します。

$\frac{(x-1)(x-2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(x + \sqrt{3x-2})} = \frac{(x-1)(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)(x + \sqrt{3x-2})} = \frac{(x-1)(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x+2 - 4)(x + \sqrt{3x-2})} = \frac{(x-1)(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x-2)(x + \sqrt{3x-2})}$

$x \neq 2$ のとき、$x-2$で約分できます。

$\frac{(x-1)(\sqrt{x+2} + 2)}{x + \sqrt{3x-2}}$

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x - \sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2} - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-1)(\sqrt{x+2} + 2)}{x + \sqrt{3x-2}}$

ここで、$x=2$を代入します。

$\frac{(2-1)(\sqrt{2+2} + 2)}{2 + \sqrt{3 \cdot 2 - 2}} = \frac{1(\sqrt{4} + 2)}{2 + \sqrt{4}} = \frac{2+2}{2+2} = \frac{4}{4} = 1$

3. 最終的な答え

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