極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要がある。つまり、

$1^2 + a(1) + b = 0$ が成り立つ必要がある。

これから、$1 + a + b = 0$ なので、$b = -a - 1$ となる。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x-1} = 3$ となる。

分子を因数分解することを考える。

$x^2 + ax - a - 1 = x^2 - 1 + ax - a = (x-1)(x+1) + a(x-1) = (x-1)(x+1+a)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1+a)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1+a) = 1+1+a = 2+a$

これが $3$ に等しいので、$2+a = 3$ となり、$a = 1$ となる。

$b = -a - 1$ だったので、$b = -1 - 1 = -2$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -2$