極限 $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3 - x^2 - x + 1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1$ を因数分解するために、$x = -1$ を代入してみると $(-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$ となり、$x+1$ が因数に含まれることがわかります。

したがって、$x^3 - x^2 - x + 1$ を $x+1$ で割ります。

筆算または組み立て除法を用いると、

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x+1)(x^2 - 2x + 1)$

さらに、$x^2 - 2x + 1$ は $(x-1)^2$ と因数分解できます。

したがって、

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x+1)(x-1)^2$

これにより、与えられた極限は

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x+1)(x-1)^2}$

$x \neq -1$ のとき、$x+1$ で約分できます。

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x-1)^2}$

ここで、$x \to -1$ を代入すると、

$\frac{1}{(-1-1)^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$