$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a$ と $b$ の値を定める。

解析学極限有理化微分
2025/7/9

1. 問題の内容

limx1x+a+bx21=18\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8} が成り立つように、aabb の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、x1x \to 1 のとき、分母 x21x^2 - 100 に近づく。極限が存在し、かつ有限の値を持つためには、分子 x+a+b\sqrt{x+a}+bx1x \to 1 のとき 00 に近づく必要がある。したがって、
1+a+b=0\sqrt{1+a}+b=0
が成り立つ。これから b=1+ab = -\sqrt{1+a} が得られる。これを元の式に代入すると、
limx1x+a1+ax21=18\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{1+a}}{x^2-1} = \frac{1}{8}
となる。ここで、分子を有理化する。
limx1x+a1+ax21=limx1(x+a1+a)(x+a+1+a)(x21)(x+a+1+a)=limx1x+a(1+a)(x21)(x+a+1+a)=limx1x1(x21)(x+a+1+a)\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{1+a}}{x^2-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+a}-\sqrt{1+a})(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})}{(x^2-1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \lim_{x \to 1} \frac{x+a-(1+a)}{(x^2-1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x^2-1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})}
ここで、x21=(x1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1) であるから、
limx1x1(x1)(x+1)(x+a+1+a)=limx11(x+1)(x+a+1+a)\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+a}+\sqrt{1+a})}
x1x \to 1 の極限をとると、
1(1+1)(1+a+1+a)=12(21+a)=141+a\frac{1}{(1+1)(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+a})} = \frac{1}{2(2\sqrt{1+a})} = \frac{1}{4\sqrt{1+a}}
これが 18\frac{1}{8} に等しいので、
141+a=18\frac{1}{4\sqrt{1+a}} = \frac{1}{8}
41+a=84\sqrt{1+a} = 8
1+a=2\sqrt{1+a} = 2
1+a=41+a = 4
a=3a = 3
b=1+a=1+3=4=2b = -\sqrt{1+a} = -\sqrt{1+3} = -\sqrt{4} = -2

3. 最終的な答え

a=3,b=2a = 3, b = -2

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