$n$を2以上の整数とするとき、以下の不等式が成り立つことを証明する問題です。 $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$

1. 問題の内容

$n$を2以上の整数とするとき、以下の不等式が成り立つことを証明する問題です。

$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n = 2$のとき:

左辺は$1 + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$です。

右辺は$2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4}$です。

$\frac{5}{4} < \frac{6}{4}$なので、$n=2$のとき不等式は成り立ちます。

(2) $n = k$のとき不等式が成り立つと仮定します。つまり、

$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} < 2 - \frac{1}{k}$

が成り立つと仮定します。

(3) $n = k+1$のとき:

$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}$

ここで、

$2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < 2 - \frac{1}{k+1}$

を示せばよいです。これは、

$2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < 2 - \frac{1}{k+1}$

$\frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

$\frac{1}{(k+1)^2} < \frac{k+1-k}{k(k+1)}$

$\frac{1}{(k+1)^2} < \frac{1}{k(k+1)}$

$k(k+1) < (k+1)^2$

$k < k+1$

となり、これは常に成り立ちます。

したがって、$n=k+1$のときも不等式は成り立ちます。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法によって、すべての2以上の整数$n$に対して不等式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

すべての2以上の整数nに対して、$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$　が成り立つ。